L’anomalia de Páez: La inoportunitat d’un assaig?

JOSEP M. GENESCÀ I RAMON
Consultor d’Estructures.

No sembla més lògic que la teoria s’elabori a partir de l’experimentació i no a l’inrevés? Aquí s’exposa un cas, el d’Alfredo Páez Balaca, el qual, basant-se exclusivament en dades empíriques, va proposar un mètode de dimensionament del formigó armat. El mètode no va tenir l’èxit esperat. En aquest article s’explica el sistema utilitzat i les possibles causes d’aquest desacord tècnic.

(1955)

L’any 1955 es va fer a l’Instituto Técnico de la Construcción y del Cemento una sèrie d’assaigs consistents en sotmetre fins a trencament per flexió bigues de formigó armat¹.

Per tal de materialitzar l’assaig es carregaven les bigues amb càrregues concentrades i progressives, cosa que s’aconseguia omplint els barrils d’aigua de la forma que s’observa a les fotografies i, atès que la influència del pes propi es podia considerar menyspreable enfront de les càrregues concentrades, els diagrames obtinguts, tant de moments flectors com d’esforços tallants, eren els que apareixen a la figura 1.

S’ha de dir que l’armat de les peces era constant, tant l’armadura longitudinal com la transversal, al llarg de tota la biga.

Alfredo Paéz Balaca² va observar aquests assaigs i el 1961 va publicar el llibre Los esfuerzos cortantes y la flexión en el hormigón armado imprès per l’Instituto Técnico de la Construcción y del Cemento, on explicava les conclusions dels assaigs.

Segons la teoria, i també segons el sentit comú, les bigues haurien de trencar-se aproximadament a la meitat de la llum, és a dir entre A i A’. Però els trencaments es produeixen entre els punts A i B o entre A’ i B’. Diu Paéz: «Las secciones centrales, de máximos momentos, pero con esfuerzos cortantes despreciables, no parecían agotar tanto la capacidad resistente del material, como en estas secciones de los tramos adyacentes, en donde la acción conjunta del momento flector y del esfuerzo cortante promovían la rotura final». Enfront d’aquesta anomalia observada en el laboratori, segueix dient: «Si existen divergencias entre la teoría y la experimentación, será preciso admitir que las hipótesis formuladas como base de partida para los estudios teóricos no son las adecuadas al caso particular que se considera».

Aquestes hipòtesis formulades es matisen: «Mientras la teoría admite el postulado de que el hormigón armado es un cuerpo homogéneo, continuo, isótropo y elástico, la experimentación, ajena a toda hipótesis, observa cómo las piezas se rompen bajo cargas que no guardan relación con las previsiones teóricas». Quan les bigues trenquen sense respectar la teoria és difícil imaginar que les seccions conservin la planeïtat al llarg de l’assaig³.

No existeix cap mena de correlació entre els assaigs i la teoria. Páez intenta establir una nova teoria «antiteòrica?» d’anàlisi del formigó armat en què els resultats obtinguts concordin amb l’experimentació. És a dir, una teoria que s’acomodi a l’experimentació i no a l’inrevés.

¹ Les fotografies, el dibuix i l’àbac estan extrets del llibre Los esfuerzos cortantes y la flexión en el hormigón armado. Instituto Técnico de la Construcción y del Cemento. Madrid, 1961.
² Alfredo Páez Balaca. Paradoxalment ha estat difícil trobar biografies de Páez. Ha estat la informació subministrada per algun dels seus deu fills la més significativa. Neix a Málaga el 1917 i mor a Santander el 2008. Va treballar a l‘Instituto Técnico de la Construcción y del Cemento en íntima col·laboració amb Eduardo Torroja, feina que va deixar, a principis dels seixanta, per treballar a la empresa Hidrocivil. De l’època de l’Instituto ha transcendit que formava part del «Grupo de los marcianos» perquè es reunien cada dimarts a la cafeteria Kontiqui amb, entre altres, Francisco Arredondo, Florencio del Pozo, Sanchez Vega, Rafael Piñeiro (director de la revista Hormigón y Acero en què també participa Páez) i Maruja de la Orden, aquesta última l’única que queda amb vida. De 1964 a 1967 treballa a Venezuela a l’empresa Sivenza-Heliacero i a la tornada a España projecta diversos ponts de l’Autopista del Mediterráneo per finalment col·laborar amb les empreses Nervacero i Arbulu. Torroja havia expressat clarament que volia que Páez fos el seu successor. Però la seva vinculació amb Nervacero, quan Torroja va morir, va deixar el camí lliure a Jaime Nadal que en aquell moment estava molt vinculat a l’Instituto. És possible que per aquesta qüestió les relacions de Nadal amb Páez no fossin les més bones. Va ser catedràtic de l’Escuela de Ingenieros de Caminos de la Universidad de Santander.
De 1978 a 1979 és director de l’Escuela de Caminos de Madrid. El 1984 rep del Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de España la Medalla de Honor de los Ingenieros de Caminos.  Els seus llibres Hormigón Armado i Hormigón Pretensado són extraordinaris i molt coneguts, però estan pensats més per llegir que per ser consultats, manifestant així la seva vàlua didàctica.  Avala aquesta qüestió quan en el seu llibre Hormigón Armado diu literalment: «Este texto no pretende ser un manual, ni menos un recetario». Un no sap què pensar quan Julián Núñez-Olías l’any 2000 en el llibre Cosecha del setenta y cuatro parla dels seus professors a l’Escuela de Caminos de Madrid i diu: «… A nosotros nos gustaban más las clases de cálculo: Resistencia de Materiales, Estructuras, Hormigón Pretensado, que era la estrella de la época con el inefable y a veces equivocado en sus planteamientos, Alfredo Páez que era como Gary Cooper pero en pequeño». Però el cert és que Páez és un referent mundial amb un reconegut prestigi a Europa.

Páez creu convenient muntar la seva teoria en funció de quina serà la relació entre el moment flector i l’esforç tallant⁴. Quan el moment flector domina sobre l’esforç tallant, punts A i A9 (inclòs A-B i A’-B’), el diagrama tensional del formigó més adequat és el rectangular. Si l’esforç tallant és més important que el moment flector, punts D-C i D’-C’ el diagrama tensional ideal és el triangular, deixant les distribucions parabòliques, o d’altres tipus, per a certes combinacions entre moment flector i esforç tallant diferents de les indicades anteriorment. Això implica que, per al dimensionament d’una biga de formigó armat, serà necessari triar per a cada secció quina és la distribució tensional més adequada. O dit d’una altra manera, és necessari dimensionar bigues i no seccions d’aquesta biga.

³ La hipòtesi de Claude Louis Navier (1785 -1836) segons la qual en flexió les seccions planes sol·licitades romanen planes abans i després de la deformació s’ha aplicat en el formigó armat de forma generalitzada, tant en el mètode clàssic de proporcionalitat entre tensions i deformacions, com en els estats límits, fins avui en dia. La teoria de dominis i els pivots és una aplicació directa de la hipòtesi de Navier.
⁴ Curiosament, J. J. Tirado Cruz i J. A. López Jamar el 1962 escriuen una monografia de l’Institut Eduardo Torroja amb el títol Una teoría de la flexión con esfuerzo cortante en piezas de hormigón armado on coneixen amb tota seguretat els experiments de Páez, intentant establir una teoria, aquesta vegada sense efectuar assaigs previs. Per exemple, en la sinopsi del principi es diu «… es de hacer notar la influencia apreciable de la cuantía de armadura longitudinal en la resistencia al esfuerzo cortante; una cuantía superabundante, es decir, mayor que la de agotamiento, aumenta la profundidad de la cabeza comprimida y eleva, por tanto, la resistencia de la misma, reduciéndose la cuantía necesaria de armadura transversal».

La inclinació de les fissures depèn de la relació entre el moment flector i el producte del cantell per l’esforç tallant M /(d·V). Quan aquesta relació és gran, la fissura és gairebé vertical, entre que quan és petita, les fissures creades són inclinades, aproximadament, a 45 graus, angle que es veu incrementat si existeix un esforç normal de compressió.

L’experimentació observa que la capacitat resistent d’una peça sotmesa únicament a flexió pura, és a dir, amb absència d’esforços tallants, es veu incrementada si es col·loquen cèrcols. La presència de cèrcols reforça la capacitat del cap comprimit de formigó. Al mateix temps, una secció sotmesa a un esforç tallant veu millorada la seva capacitat amb la presència d’armadura longitudinal. Aquesta dualitat en el comportament mecànic de les armadures es veu reflectida en l’àbac de dimensionament que Páez proposa per al formigó armat, en què s’entra simultàniament amb el moment flector i l’esforç tallant per a l’obtenció també simultània de les armadures longitudinal i transversal⁵.

(1986)

El 1986 Páez publica el llibre Hormigón Armado⁶. Tot i ser un llibre que explica coses, per cert d’una manera molt entenedora i amena, és un llibre que vol fixar molt bé els conceptes i les hipòtesis i no posar gaire atenció a qüestions pràctiques. Allò que Páez diu en aquest llibre no té res a veure amb el que deia el 1955 i no fa cap referència o comentari de les qüestions experimentals abans descrites. Sembla que el Páez de 1986 no tingui res a veure amb el Páez de 1955⁷.

En el capítol 8, quan exposa la teoria dels estats límits, accepta dues hipòtesis fonamentals: la primera «El hormigón es un sólido homogéneo e isótropo» i la segona «se admite que las deformaciones longitudinales son proporcionales a su distancia a la fibra neutra». Hipòtesis que li permetran establir les lleis de compatibilitat i els dominis. Al principi del següent capítol, es diu una cosa que és difícil d’entendre si ens col·loquem en el context de 1955: «En todo lo que ahora se ha tratado⁸, el cálculo ha tenido como principal soporte su coincidencia o ajuste con la realidad experimental. Una hipótesis la hemos considerado como aceptable cuando sus resultados se ajustan a los que se obtienen en un laboratorio en el cual la viga, o pieza en general, resulta sometida a un régimen de cargas fácilmente expresable por sus parámetros teóricos. Es entonces cuando manifestamos que la experimentación corrobora la validez del esquema funcional admitido en la teoría como una acertada representación del fenómeno resistente». I a continuació, potser sí que renega dels assaigs de 1955: «A pesar del indiscutible valor de esta confrontación, la verdad es que la realidad a secas está más allá de la realidad experimental. Todo ensayo no es más que una manipulación de la naturaleza y, como tal, el resultado que se deduce es una verdad condicionada a un entorno y a unas particulares circunstancias de espacio tiempo».

⁵ L’aplicació pràctica de l’àbac comporta alguna dificultat que obliga a fer petites correccions, quan per exemple, el cas analitzat sobrepassa els límits físics del propi àbac.
⁶ Hormigón Armado. Editorial Reverté. 2 volums. 1986. Barcelona.
⁷ T ampoc es fa cap referència al Método del Momento Tope, del qual ell és autor junt amb E. Torroja i J. M. Urcelay.
⁸ Es refereix als antecedents històrics, als materials, a la posta en obra i a les teories, tant clàssica com dels estats límits.

Analitzem les possibles causes d’aquest canvi d’actitud:

1. Els assaigs de Páez de 1955 es desenvolupen en un context gens favorable. L’extraordinari prestigi de l’Instituto Eduardo Torroja de la Construcción y del Cemento, la coincidència en el temps de les preparacions de les Normes HA-57, HA-58 i HA-61 i la implementació imparable del Método del Momento Tope del qual també Páez és coautor, no afavorien el reconeixement d’un mètode experimental que no respectava les hipòtesis fonamentals dels mètodes teòrics. Des d’aquest punt de vista, els assaigs són inoportuns.
2. Tot i el entusiasme que posa Páez en els seus assaigs i encara que disposa de les dades d’altres laboratoris o investigadors com Eivind Hognestad de la Universitat d’Illinois o del CEB Comité Européen du Béton⁹, trobem una falta de col·laboració d’altres organismes com el ACI o el propi CEB.
3. És més que probable que, ateses les circumstàncies abans indicades, no es trobés finançament per seguir efectuant campanyes d’assaigs i perfilar el mètode. J. Calavera dona en el clau quan, el 1985, en el seu llibre Proyecto y cálculo de estructuras de hormigón armado para edificios, diu: «… Existen teorías que no parten de esta simplificación (del fet que el braç mecànic sigui constant al llarg d’una llesca d’amplada diferencial) y estudian simultáneamente la acción del esfuerzo cortante y del momento flector. Aunque no han alcanzado un desarrollo suficiente, deben destacarse en España las de A. Páez…».
4. I el desencís de Páez enfront del poc entusiasme que va despertar el seu mètode, justificaria, i això ja és una opinió personal, la seva falta de col·laboració en la redacció de la Norma HA-61 i de la primera Instrucció oficial, la EH-68.

(2018)

És obligatori observar l’evolució, en aquest sentit, d’un llibre tan important i referencial com l’Hormigón Armado de P. Jiménez Montoya. En la seva primera edició de 1964, precisament prologat per Alfredo Páez¹⁰, es diu: «Es interesante la teoría de Páez Balaca que hace depender la resistencia del hormigón en estas circunstancias, del valor relativo del momento y esfuerzo cortante, así como la disposición y cuantía de las armaduras». A les següents edicions, fins la 6a de 1971, no es fa més que ressaltar aquesta opinió, es diu: «… la reciente teoría de Páez Balaca, que creemos del máximo interés, admite la influencia que el momento flector y la correspondiente armadura de tracción tienen en la capacidad de la viga a esfuerzo cortante. Es decir, que no deben de estudiarse separadamente los efectos de la flexión y del esfuerzo cortante, ya que el estado de tensiones depende del valor relativo de ambos factores, así como de la disposición de las armaduras». De la 7a edició de 1973 fins la 12a, els autors de l’Hormigón Armado¹¹ esmenten Páez i l’inclouen a la bibliografia però diuen que els càlculs de moment flector i esforç tallant suelen fer-se per separat. A l’edició 13a de 1991 el llibre de Páez només surt a la bibliografia, i a partir de la 14a (edició del 2000), ni a la bibliografia. El Hormigón Armado de Montoya segueix la mateixa pista que la del propi Alfredo Páez, és a dir, sembla que el pas dels anys deixin en l’oblit els assaigs de laboratori de 1955. O és que a ningú interessa que aquests assajos posin en dubte les teories convencionalment establertes.

De qui és la responsabilitat, com diu J. Calavera, que el desenvolupament de la teoria de Páez no hagi tirat endavant? Dels investigadors de l’Instituto Eduardo Torroja, que desitjaven un reconeixement internacional de les seves teories allunyades de la realitat experimental¹²? Del propi Páez, que potser s’adona que està fora de lloc, o simplement és inoportuna, una teoria amb un suport empíric tan acusat? El canvi d’actitud entre el Páez de 1955 i el de 1986 respon a criteris intel·lectuals, a pressions exteriors o simplement que el pas del temps, 31 anys després, posa les coses al seu lloc?

⁹ Páez coneix els assaigs efectuats a flexió simple i recopilats al Butlletí núm. 345 de la Universitat d’Illinois així com els Essais. Flexion simple de 1958 editat pel CEB.¹⁰ Les següents edicions, fins la 14a, venen prologades per Franco Levi. L’última versió, la 15a, ve prologada pels mateixos autors, Álvaro García Meseguer, Francisco Morán Cabré i Juan Carlos Arroyo Portero.
¹¹ P. Jiménez Montoya, A. García Meseguer i F. Morán Cabré.
¹² La prestigiosa Escuela Española.

I finalment, per què les Normes o Instruccions no estimulen sistemes experimentals que ens permetin abandonar qüestions tan poc suggestives i creïbles com, per exemple, els dominis i els pivots o el model de bieles i tirants?

Però en tot cas, seguim sense aplicar un mètode de dimensionament de bigues sotmeses a flexió que expliqui perquè les bigues es trenquen, no quan el moment flector o el esforç tallant és màxim, sinó quan la relació entre el moment flector i l’esforç tallant és pèssim.

Exemple

Per tal de comparar el sistema utilitzat per Páez per dimensionar a flexió el formigó armat amb altres mètodes, es proposa un exemple, on es tindran en compte els següents aspectes.

• Es tracta d’una biga doblement recolzada de llum L = 5 m sotmesa a una càrrega de 5 t/m. A la taula 1 s’indiquen els valors de servei dels moments flectors i dels esforços tallants de la biga donada en funció de la abscissa considerada.
• La biga de formigó armat té una amplada b = 30 cm i un cantell h = 50 cm. El recobriment és de 5,1 cm resultant un cantell útil de d = 44,9 cm.
• Es comparar๳ el mètode de Páez primerament amb l’estudi que Eduardo Torroja Miret publica a les Monografies del Instituto Eduardo Torroja de la Construcción y del Cemento el 1963 titulat Sobre el comportamiento anelástico del hormigón armado en piezas prismáticas. En segon lloc s’adopta El Método del Momento Tope. Para la flexión y la compresión simples o compuestas en hormigón armado que el 1961 surt editat per l’Instituto Técnico de la Construcción y del Cemento i escrit per Eduardo Torroja, Alfredo Páez i Jose M. Urcelay. I finalment, el mètode de la Parábola-Rectángulo ja permès a la Instrucció de 1968¹⁴ (es permet el diagrama, però no apareix l’exposició analítica) i que ha perdurat al llarg de les següents instruccions fins a l’actual EHE-08¹⁵.
• Les unitats són les habituals en el moment en què Páez efectua els assaigs.
• L’armadura transversal està calculada amb els sistemes proposats a les normatives actuals i formada per cèrcols de dues branques del diàmetre 8 mm. La separació teòrica és la indicada a la taula 2.
• La comparació es fa a flexió simple sense armadura de compressió.
• La resistència característica del formigó ha estat de f_ck = 25 N/mm² i el límit elàstic de l’acer de f_yk = 500 N/mm².
• Els coeficients de seguretat parcials adoptats han estat de ỿ_f = 1,45 per a les sol·licitacions, ỿ_c 5 1,50 per al formigó i de ỿ_s 5 1,15 per a l’acer.

¹³ La comparació, excepte el mètode de la Parábola- Rectángulo, s’efectua amb altres sistemes de l’època en què Páez va fer els assaigs.
¹⁴ La Instrucción para el Proyecto y la Ejecución de obras de hormigón en masa o armado de 1968, EH-68, és la primera en contemplar els diagrames d’esgotament resistent en el dimensionament del formigó armat, deixant al darrere les normes anteriors que establien com a hipòtesi la proporcionalitat entre tensions i deformacions, i la primera també en fixar un tractament probabilístic dels coeficients de seguretat, en clara inspiració de la norma HA-61. Potser té rellevància indicar que a l’EH-68 es diu que l’únic membre redactor de la norma de l’Institut Eduardo Torroja va ser Álvaro García Meseguer. L’EH-68 reconeix un diagrama Parabóla-Rectángulo per al formigó comprimit, encara que s’inclina per normalitzar extensament el Método del Momento Tope. Les Instruccions HA-57, HA-58 i HA-61 estan elaborades per investigadors del Instituto Eduardo Torroja de la Construcción y del Cemento que, des d’una Comissió presidida per Eduardo Torroja, intervé com a Ponent General Alfredo Páez. Però aquest no acaba la feina, com així s’explica a la introducció de Jaime Nadal a la HA-61, en la qual, apart de referir-se a la mort de Torroja quan pràcticament l’obra ja està acabada diu: «Ya muy adelantada la obra y faltos de la colaboración directa de Alfredo Páez, continuaron García Meseguer y Urcelay, secundados siempre por Rafael Piñeiro, atendiendo los trabajos que imponía el ritmo de las continuas investigaciones del profesor Torroja». Aquesta instrucció no oficial, és a dir, de no obligat compliment, va obrir noves expectatives. En realitat, va omplir un gran buit, en un període que va des de la Instrucción de proyectos y obras de hormigón de 1939, 1941 i 1944 fins a l’EH-68.
¹⁵ La Instrucción de Hormigón Estructural EHE-08 en el article 42.1.2, quan parla de les hipòtesis generals, diu: «Las deformaciones del hormigón siguen una ley plana». I en l’Annex 7 «adoptando… un diagrama parabólicorectangular para el hormigón comprimido».

• a) Mètode de Páez. Utilitzant l’àbac que s’ha donat anteriorment a la figura 2 i entrant amb els valors adimensionals μ per al moment flector de càlcul i Θ per a l’esforç tallant de càlcul, es troben els valors de ω’o que permeten obtenir la capacitat mecànica de l’armadura traccionada i ωT, mitjançant el qual s’obté la capacitat mecànica de l’armadura transversal, en aquest cas dels cèrcols. Observi’s que la mínima distància obtinguda de separació teòrica de cèrcols ha estat de 80,4 cm i la màxima de 160,8 cm. Lògicament, aquestes distàncies s’haurien de corregir en funció de les exigències normatives i constructives (taula 3).
• b) Mètode anelástico de Torroja. En aquest mètode, l’armadura de tracció per a secció rectangular i sense armadura de compressió ve donada per la formula A = (M/d)/(1,12 – 0,18 · m/(f^ck · b · d²)) i finalment es passa a capacitat mecànica obtenint els valors indicats a la taula 4.
• c) Mètode del Momento Tope. En aquest mètode la capacitat mecànica a tracció s’obté per la formula U = (0,97 · M · ỿ_f /d)·(1 + M · ỿ_f /(U_c · d)) on U_c és la capacitat mecànica del formigó U_c 0 f_cd ·b·d (taula 5).
• d) Mètode de la Parábola- Rectángulo. En aquest mètode, es calcula primerament el valor adimensional μ, de valor μ = ỿ_f · M/(b · dz² · f_cd) i en funció d’aquest, ω de valor ω = 2,23 · m² 1 0,60 · μ 1 0,013. Finalment el valor de la capacitat de la armadura traccionada adopta el valor d’U = ω · b · d · f_cd (taula 6).

D’aquest exemple s’han tret les següents conclusions:

1. Que el mètode anelástico i el mètode del Momento Tope donen resultats quasi coincidents, com no es podia esperar altra cosa de dos mètodes que tenen Eduardo Torroja com a autor, el primer, i com a coautor, el segon (figura 3).
2. Que el mètode de la Parábola-Rectángulo dona també resultants força coincidents amb els altres dos mètodes teòrics. A partir de la suma de les capacitats mecàniques obtingudes, el mètode de la Parábola – Rectángulo dona una diferencia percentual del 3 %.
3. Que també a partir de la suma de les capacitats mecàniques obtingudes, el mètode de Páez exigeix entre 15,2 i un 17,8 % (en aquest exemple) més de capacitat mecànica que els mètodes teòrics.
4. Que per a valors petits dels moments flectors i quan el valor de l’esforç tallant és gran, la capacitat mecànica a tracció del mètode de Páez es dispara.
5. A partir d’un cert valor del moment flector (que en aquest exemple ha estat de 6 mt) i per a valors petits de l’esforç tallant, la relació entre moment flector i capacitat mecànica es linealitza i adopta una silueta molt coincident amb els mètodes teòrics.
6. Amb referència a l’armadura transversal, és evident que el mètode de Páez permet una separació major que els mètodes teòrics utilitzats per calcular-les. Però no es creu que l’estalvi donat pels cèrcols compensi l’excés d’armadura longitudinal calculada. És evident, per tant, que l’aplicació del mètode de Páez no comporta un estalvi econòmic.